Muchos estudiantes que estudian matemáticas avanzadas en cursos avanzados probablemente se han preguntado: ¿dónde se usan las ecuaciones diferenciales (DE) en la práctica? Como regla general, este tema no se discute en las conferencias, y los maestros inmediatamente proceden a la solución de la teoría de control sin explicar a los estudiantes el uso de ecuaciones diferenciales en la vida real. Intentaremos llenar este vacío.
Comenzamos definiendo una ecuación diferencial. Entonces, una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona el valor de una función derivada con la función misma, los valores de una variable independiente y algunos números (parámetros).
El área más común en la que se aplican ecuaciones diferenciales es la descripción matemática de los fenómenos naturales. También se usan para resolver problemas en los que es imposible establecer una relación directa entre algunos valores que describen un proceso. Dichas tareas surgen en biología, física y economía.
En biología:
El primer modelo matemático sustancial que describe comunidades biológicas fue el modelo Lotka-Volterra. Describe una población de dos especies que interactúan. El primero de ellos, llamado depredadores, muere de acuerdo con la ley x '= –ax (a> 0) en ausencia de la segunda, y el segundo, las víctimas, en ausencia de depredadores, se multiplica ilimitadamente de acuerdo con la ley de Malthus. La interacción de estas dos especies se modela de la siguiente manera. Las víctimas mueren a un ritmo igual al número de encuentros de depredadores y víctimas, que en este modelo se supone que es proporcional al número de ambas poblaciones, es decir, igual a dxy (d> 0). Por lo tanto, y '= por - dxy. Los depredadores se reproducen a una velocidad proporcional al número de presas comidas: x '= –ax + cxy (c> 0). Sistema de ecuaciones
x '= –ax + cxy, (1)
y '= por - dxy, (2)
Al describir esa población, un depredador es una presa y se llama el sistema (o modelo) de Bandejas - Volterra.
En física:
La segunda ley de Newton se puede escribir en forma de ecuación diferencial
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), donde m es la masa del cuerpo, x es su coordenada, F (x, t) es la fuerza que actúa sobre el cuerpo con la coordenada x en el tiempo t. Su solución es la trayectoria del cuerpo bajo la acción de la fuerza indicada.
